题目内容

4．如图，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AF}$=$\sqrt{2}$，求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$．

分析 建立坐标系，求出相关点的坐标，然后求解数量积即可．

解答 解：以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系如图：
则B（$\sqrt{2}，0$），A（0，0），D（0，2），
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AF}$=$\sqrt{2}$，∴F（1，2），
点E为BC的中点，∴E（$\sqrt{2}，1$）．
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{2}，1$）•（1，2）=2+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查向量在几何中的应用，建立空间直角坐标系是解题的关键之一，考查计算能力．

练习册系列答案
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14．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过焦点且垂直于长轴的弦长为$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）斜率为k的真线l经过椭圆C的右焦点F且与椭圆交于不同的两点A，B设$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}$λ∈（-2，-1），求直线l斜率k的取值范围．
15．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，以AC为直径的圆O交AB于F，点D是BC的中点，连接OD交圆O于点E．
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①$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{P{F^'}}$＞0，且三角形PFF′的面积小于b2；
②当a=$\sqrt{2}$b时，∠PF′F-∠PFF′=$\frac{π}{2}$；
③分别以PF，FF′为直径作圆，这两个圆相内切； 
④曲线C1与C2的离心率互为倒数．
其中正确的有（　　）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9．某几何体的三视图如图所示，图中3个三角表均为直角三角形，则该几何体的体积的最大值$\frac{1}{2}$．
16．在等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，满足a5=-1，S5=-12
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（2）求前n项和为Sn，并指出当n为何值时，Sn取最小值；
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13．求数列$\frac{1}{{1}^{2}+2}$，$\frac{1}{{2}^{2}+4}$，$\frac{1}{{3}^{2}+6}$，$\frac{1}{{4}^{2}+8}$，…，$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$的前n项和．
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（1）求证：AD∥EC；
（2）若PA=6，PC=2，BD=9，求PE的长．

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