Question

14．如图，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，P是⊙O₁上一点，PB的延长线交⊙O₂于点C，PA交⊙O₂于点D，CD的延长线交⊙O₁于点N．
（1）点E是$\widehat{AN}$上异于A，N的任意一点，PE交CN于点M，求证：A，D，M，E四点共圆
（2）求证：PN²=PB•PC．

Answer 1

分析 （1）连接AB，根据圆内接四边形的性质，得到∠ABC=∠E，根据圆周角定理的推论得到，、∠ABC=∠ADC，从而得到∠ADC=∠E，进一步得到A，D，M，E四点共圆；
（2）根据两个角对应相等，易证明△PDN∽△PNA，得到PN²=PD•PA，再结合割线定理即可证明．

解答 证明：（1）连接AB．
∵四边形AEPB是⊙O₁的内接四边形，
∴∠ABC=∠E．
在⊙O₂中，∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC=∠E，
∴A，D，M，E四点共圆；
（2）连接AN、PN．
∵四边形ANPB是⊙O₁的内接四边形，
∴∠ABC=∠PNA．
由（1）可知，∠PDN=∠ADC=∠ABC．
∴∠PDN=∠PNA．
又∠DPN=∠NPA，
∴△PDN∽△PNA．
∴PN²=PD•PA．
又∵PD•PA=PB•PC，
∴PN²=PB•PC．

点评 连接公共弦，是相交两圆常见的辅助线之一．综合运用圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质、相似三角形的性质和判定．