题目内容
【题目】如图,已知四棱锥的底面
是菱形,
,
平面
,
,
与平面
所成的角为
,点
为
的中点.
(1)求证:平面平面
;
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)首先根据条件证明,
,即
平面
,再根据平面垂直平面的判定即可得到平面
平面
.
(2)首先以为原点,
,
,
分别为
,
,
轴,建立空间直角坐标系,再利用向量法求二面角的正切值即可.
(1)因为四边形是菱形,所以
,
又因为平面
,
平面
,所以
,
又因为,所以
平面
,
因为平面
,所以平面
平面
.
(2)设与
交于点
,连接
,
因为,
分别为
,
的中点,所以
.
因为平面
,所以
平面
.
又因为四边形为菱形,
,
所以.
因为平面
,
所以为
与平面
所成的角,
所以,
.
以为原点,
,
,
分别为
,
,
轴,建立空间直角坐标系,
,
,
,
.
,
,
.
设平面的法向量为
,
则,令
,得
.
因为平面
,所以
为平面
的法向量.
设二面角的平面角为
,
则,
所以.
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