题目内容
【题目】已知抛物线
的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点，则下列命题中正确的个数为（ ）
①
面积的最小值为4；
②以
为直径的圆与x轴相切；
③记
，
，
的斜率分别为
，
，
，则
；
④过焦点F作y轴的垂线与直线，分别交于点M，N，则以
为直径的圆恒过定点.
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
依次判断每个选项：
的斜率为0时，
，所以①错误，计算
②正确，证明
，所以③正确，根据等式令
，得
或3，所以④正确，得到答案.
当的斜率为0时，，所以①错误.
设
的中点为E，作
轴交x轴于点G，作
准线交准线于点D，交x轴于点C，则
，又
，
所以
，所以②正确.
直线的方程为
，联立
，得
.设
，
，则
，
，所以，所以③正确.
直线
，所以
.同理可得
.所以以
为直径的圆的方程为
，即
.
令，得或3，所以④正确.
故选：
.
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