题目内容
【题目】某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有
份血液样本每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验
次；（2）混合检验，将其中
份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这
份的血液全为阴性，因而这份血液样本只需检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪份为阳性，就需要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为
次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果总阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为
．
（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取遂份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
（2）现取其中的份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为
；采用混合检验的方式，样本简要检验的总次数为
；
（ⅰ）若
，试运用概率与统计的知识，求
关于的函数关系
，
（ⅱ）若
，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求的最大值（
，
，
，
，
，
）
【答案】（1）
（2）（ⅰ）
．（ⅱ）8
【解析】
（1）利用古典概型的概率求出恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）（ⅰ）先求出
，再化简
即得解；（ⅱ）由
，得到
，再利用导数解不等式得解.
（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件
，则
，
即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为．
（2）（ⅰ）由题意知
，
取值的可能有1，
，
，
，
所以
，
由，得
，即
，所以
，
所以
关于
的函数关系．
（ⅱ）由题意知，，所以
，即
，
所以
，又
，所以
，
两边同时取对数，得
，即，
设
，则
，易知函数
在
上单调递减，
，
，
所以的最大值为8．
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