题目内容
【题目】2020年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情.某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)，竞赛奖励规则如下，得分在
内的学生获三等奖，得分在
内的学生获二等奖，得分在
内的学生获一等奖，其他学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图.
（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
（2）若该校所有参赛学生的成绩
近似服从正态分布
，其中
为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
(i)若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果四舍五入到整数)；
(ii)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为
，求随机变量的分布列和均值.
附：若随机变量服从正态分布，则
，
，
.
【答案】（1）
（2）(i)
(ii)详见解析
【解析】
（1）由样本频率分布直方图得，有30人获奖，70人没有获奖，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件
，利用组合数公式求出总的基本事件数和事件包含的基本事件数，代入古典概型概率计算公式即可求解；
（2）利用频率分布直方图中的数据，代入平均数公式求出平均数的估计值
，利用正态分布曲线的对称性求出
的概率，即可估计参赛学生中成绩超过79分的学生数；利用正态分布的性质和二项分布的概率和期望公式求出随机变量
的分布列和均值即可.
（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，
获三等奖的16人，所以有30人获奖，70人没有获奖，
从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为
，
设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件，
则事件包含的基本事件的个数为
，
由古典概型概率计算公式可得，
，
所以抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率.
（2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值
，所有参赛学生的成绩
近似服从正态分布
.
（i）因为
，所以
，
参赛学生中成绩超过79分的学生数约为
.
（ⅱ）由
，得
，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，竞赛成绩在64分以上的概率为
，所以随机变量服从二项分布
.
随机变量的所有可能取得的值为0，1，2，3.
，
，
，
，
随机变量的分布列为
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
所以
.
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【题目】2020年3月22日是第二十八届“世界水日”3月22-28日是第三十三届“中国水周”，主题为“坚持节水优先，建设幸福河湖”，效仿阶梯电价，某市准备实施阶梯水价.阶梯水价原则上以一套住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准，具体划分阶梯如下：
梯类 | 第一阶梯 | 第二阶梯 | 第三阶梯 |
月用水量范围（立方米） |
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从本市居民用户中随机抽取10户，并统计了在同一个月份的月用水量，得到如图所示的茎叶图
（1）若从这10户中任意抽取三户，求取到第二阶梯用户数
的分布列和数学期望；
（2）用以上样本估计全市的居民用水情况，现从全市随机抽取10户，则抽到多少户为第二阶梯用户的可能性最大？