题目内容
【题目】已知抛物线
与圆
相交于
，
两点，且点的横坐标为
.
是抛物线
的焦点，过焦点的直线
与抛物线相交于不同的两点
，
.
（1）求抛物线的方程.
（2）过点，作抛物线的切线
，
，
是，的交点，求证：点
在定直线上.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）根据点
的横坐标为
，通过圆的方程得到点的坐标，代入抛物线方程求解.
（2）由（1）得到抛物线
，求导
，设
，利用导数的几何意义，得到切线
，
的方程，联立解得点P的坐标，再设出直线
的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理求解.
（1）点的横坐标为，所以点的坐标为
，
代入
解得
，所以抛物线的方程为.
（2）抛物线，则，设，
所以切线的方程为
，即
，
同理切线的方程为
，
联立解得点
，
设直线的方程为
，代入，
得
，所以
，
所以点
在
上，结论得证.
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