Question

【题目】已知三棱柱的侧面是菱形，.

（1） 求证：；

（2）若，，，求的值，使得 二面角的余弦值的为 .

Answer 1

【答案】(1)证明见解析.

(2)2.

【解析】

分析：（1）由题意结合几何关系可证得面，则.

（2）以为坐标原点，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,设，计算可得平面和平面的一个法向量分别为，，结合空间向量的结论计算可得的长为.

详解：

（1）因为侧面是菱形，所以，

又，，

所以与全等，

所以；

设和交于，则为和的中点，连接，

所以.

又，交于，

所以面；

因为面，所以.

（2）因为，所以，

以为坐标原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.

因为，所以

设，则；

，

设和分别是平面和平面的法向量，

则

不妨令，则，即

，

不妨令，则，即.

令，即，得或，

所以或（舍），

即的长为.