题目内容
【题目】已知{an}是等差数列,设数列{bn}的前n项和为Sn,且2bn=b1(1+Sn),bn≠0,又a2b2=4,a7+b3=11.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)令cn=anbn(n∈N*),求{cn}的前n项和Tn
【答案】(1)an=n;bn=2n﹣1(2)Tn=(n﹣1)2n+1
【解析】
(1)运用数列的递推式,以及等比数列的通项公式可得bn,{an}是公差为的等差数列,运用等差数列的通项公式可得首项和公差,可得所求通项公式;
(2)求得,由数列的错位相减法求和,结合等比数列的求和公式,即可得到所求和.
(1)2bn=b1(1+Sn),bn≠0,
n=1时,2b1=b1(1+S1)=b1(1+b1),解得b1=1,
n≥2时,2bn﹣1=1+Sn﹣1,且2bn=1+Sn,
相减可得2bn﹣2bn﹣1=Sn﹣Sn﹣1=bn,
即bn=2bn﹣1,
可得bn=2n﹣1,
设{an}是公差为d的等差数列,
a2b2=4,a7+b3=11即为a1+d=2,a1+6d=7,
解得a1=d=1,可得an=n;
(2)cn=anbn=n2n﹣1,
前n项和,
,
两式相减可得﹣Tn=1+2+4+…+2n﹣1﹣n2n
n
2n,
化简可得Tn=(n﹣1)2n+1.

【题目】“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份,我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节,如图是江南镇2009~2018年梅雨季节的降雨量(单位:
)的频率分布直方图,试用样本频率估计总体概率,解答下列问题:
“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计
镇明年梅雨季节的降雨量;
“江南梅雨无限愁”.
镇的杨梅种植户老李也在犯愁,他过去种植的甲品种杨梅,他过去种植的甲品种杨梅,亩产量受降雨量的影响较大(把握超过八成).而乙品种杨梅2009~2018年的亩产量(
/亩)与降雨量的发生频数(年)如
列联表所示(部分数据缺失).请你帮助老李排解忧愁,他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小?
(完善列联表,并说明理由).
亩产量\降雨量 | 合计 | ||
<600 | 2 | ||
1 | |||
合计 | 10 |
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.703 |
(参考公式:,其中
)