Question

15．在以O为圆心，1为半径的圆上均匀、依次分布有六点，分别记为：A、B、C、D、E、F．
（1）点P是圆O上运动的任意一点，试求|PA|≥1的概率；
（2）在A、B、C、D、E、F六点中选择不同的三点构成三角形，其面积记为S，试求S=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$和S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$的概率．

Answer 1

分析 （1）设事件A₁：|PA|≥1，求出满足条件的弧长，代入几何概型概率计算公式可得答案；
（2）从六个点中任选三个不同的点构成一个三角形，共有$C_6^3=20$种不同的选法．其中$S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的为有一个角为30°的RT△，$S=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$的为顶角为120°的等腰三角形，进而得到答案．

解答 解：（1）设事件A₁：|PA|≥1，则动点则沿B→C→D→E→F运动均满足题意，
则$P（{A_1}）=\frac{{\frac{2}{3}×2π×1}}{2π×1}=\frac{2}{3}$（6分）
（2）从六个点中任选三个不同的点构成一个三角形，共有$C_6^3=20$种不同的选法．
其中$S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的为有一个角为30°的RT△（如△ADF），不同的选法种数为6×2=12种．
∴$P（S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}）=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$（10分）
$S=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$的为顶角为120°的等腰三角形（如△ABC），不同的选法种数为6种．
∴$P（S=\frac{{\sqrt{3}}}{4}）=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$（12分）

点评 本题考查的知识点是古典概型和几何概型，转化思想，找到满足条件的基本事件的几何特征是解答的关键．