Question

10．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长度构成以首项为3的等差数列，则△ABC的最小角的正弦值为$\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．

Answer 1

分析 设出等差数列的三边为3，3+x，2x+3，由余弦定理列式求解x，则利用余弦定理可求答案．

解答 解：不妨设三角形的三边分别为3，3+x，3+2x，（x＞0），
则cos120°=$\frac{{3}^{2}+（3+x）^{2}-（3+2x）^{2}}{2×3×（3+x）}$=-$\frac{1}{2}$，
化简得：x²+x-6=0，解得x=2或-3（舍去），
∴三角形的3边长分别为：3，5，7．
设最小角为θ，则cosθ=$\frac{{5}^{2}+{7}^{2}-{3}^{2}}{2×5×7}$=$\frac{13}{14}$，解得：sin$θ=\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．
故答案为：$\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．

点评 本题考查了等差数列的定义，考查了余弦定理的应用，是基础题．