题目内容
【题目】已知函数f(x)＝log2(1－x)，g(x)＝log2(x＋1)，设F(x)＝f(x)－g(x)．
(1)判断函数F(x)的奇偶性；
(2)证明函数F(x)是减函数．
【答案】（1）奇函数．（2）见解析
【解析】试题分析：（1）先研究函数定义域，关于原点对称，再研究F(－x)与F(x)关系：相反，根据奇函数定义确定奇偶性（2）根据定义，作差，根据对数性质进行化简，再比较真数大小，确定差的符号，最后根据减函数定义进行判断.
试题解析：(1)F(x)＝f(x)－g(x)＝log2(1－x)－log2(x＋1)＝log2
.
由
得－1＜x＜1.∴函数F(x)的定义域为(－1,1)．
∴函数F(x)的定义域关于原点对称，
又∵F(－x)＝log2
＝－log2＝－F(x)．
∴函数F(x)为奇函数．
(2)由(1)知函数F(x)的定义域为(－1,1)，
任取－1＜x1＜x2＜1，则log2(
)－log2(
)＝log2
＝log2(
)，
又(1－x1＋x2－x1x2)－(1＋x1－x2－x1x2)＝2(x2－x1)＞0，所以＞1，
所以log2()－log2()＞0，即log2()＞log2()，
所以函数F(x)是减函数．
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