题目内容
【题目】已知数列中,
,且点
在直线
上.
⑴求数列的通项公式;
⑵若函数(
,且
),求函数
的最小值;
⑶设,
表示数列
的前
项和,试问:是否存在关于
的整式
,使得
对于一切不小于2的自然数
恒成立?若存在,写出
的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
,证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)将点代入直线
得到
,
数列
是以
为首项,
为公差的等差数列,再由
得到
的通项公式;(2)由(1)可得
,
,
,
是单调递增的,故
的最小值是
;(3)由(1)及
,
,即
,
,
,最后将该式整理即可得出
.
试题解析:⑴点
在直线
上,即
,且
,
数列
是以
为首项,
为公差的等差数列,
,
也满足,
⑵,
,
,
是单调递增的,故
的最小值是
.
⑶,
,
即,
,
,
.
故存在关于的整式
,使等式对于一切不小于
的自然数
恒成立.
法二:先由的情况,猜想出
,再用数学归纳法证明.
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