Question

【题目】设函数，，已知曲线在点处的切线与直线垂直.

（1）求的值；

（2）若对任意，都有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义和两条直线垂直的判定进行求解；（2）求导，确定导函数的不同零点，讨论两个零点的大小关系，确定函数的单调性和最值，再解关于的不等式即可求解.

试题解析：（1）曲线在点处的切线斜率为2，所以，

又，即，所以.

（2）的定义域为，

，

①若，则，故当时，，在上单调递增.

所以，对任意，都有的充要条件为，即，

解得或.

②若，则，故当时，；当时，

，在上单调递减，在上单调递增.

所以，对任意，都有的充要条件为，

而在上恒成立，

所以.

③若，在上递减，不合题意.

综上，的取值范围是.