Question

【题目】已知椭圆的左右顶点分别为，左焦点为，已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的直线与该椭圆交于两点，且线段的中点恰为点，且直线的方程；

（3）若经过点的直线与椭圆交于两点，记与的面积分别为和，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据椭圆的离心率公式将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）利用点差法即可求出直线PQ的方程．（3）分类讨论，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及基本不等式的性质，即可求得|S1-S2|的取值范围．

（1）因为e＝＝＝，则3a2＝4b2，将（1，）代入椭圆方程： +＝1，解得：a＝2，b＝，所以椭圆方程为+＝1；

（2）设P（xP，yP），Q（xQ，yQ），∵线段PQ的中点恰为点N，∴xP+xQ＝2，yP+yQ＝2，

∵+＝1， +＝1，两式相减可得（xP+xQ）（xP﹣xQ）+（yP+yQ）（yP﹣yQ）＝0，∴＝﹣，即直线PQ的斜率为﹣，∴直线PQ的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即3x+4y﹣7＝0.

（3）当直线l无斜率时，直线方程为x＝1，此时C（1，﹣），D（1，），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|＝0，

当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y＝k（x﹣1），

设C（x1，y1），D（x2，y2），联立，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，

显然△＞0，方程有根，且x1+x2＝，x1x2＝，

此时|S1﹣S2|＝2|y2|﹣|y1|＝2|y2+y1|＝，

因为k≠0，则|S1﹣S2|＝＝≤＝，（k＝±时等号成立）

所以|S1﹣S2|的最大值为，则0≤|S1﹣S2|≤，

∴|S1﹣S2|的取值范围[0，]．