题目内容

(本小题满分12分)
已知椭圆经过点M(-2,-1),离心率为。过点M作倾斜角
互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q。
(I)求椭圆C的方程;
(II)能否为直角?证明你的结论;
(III)证明:直线PQ的斜率为定值,并求这个定值。
解:
(Ⅰ)由题设,得=1,                                                                    ①
,                                                                              ②
由①、②解得a2=6,b2=3,
椭圆C的方程为=1.………………………………………………………4分
(Ⅱ)记P(x1,y1)、Q(x2,y2).
设直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得
(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0,
-2,x1是该方程的两根,则-2x1=,x1=
设直线MQ的方程为y+1=-k(x+2),
同理得x2=.…………………………………………………………8分
因y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),

因此直线PQ的斜率为定值.……………………………………………………12分
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