Question

13．已知关天x的不等式（2^x-2^t）（ln$\frac{2x}{t+2}$）≥0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，则实数t的取值集合是{t|-2＜t≤0}．

Answer 1

分析 由关于x的不等式（2^x-2^t）（ln$\frac{2x}{t+2}$）≥0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，可得2^x-2^t≥0且ln$\frac{2x}{t+2}$≥0，即t≤x，且t≤2x-2，结合t+2＞0，即可得出结论．

解答 解：∵关于x的不等式（2^x-2^t）（ln$\frac{2x}{t+2}$）≥0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
∴2^x-2^t≥0且ln$\frac{2x}{t+2}$≥0，
∴t≤x，且t≤2x-2，
∴t≤0，
∵t+2＞0，
∴t＞-2，
∴-2＜t≤0，
∴实数t的取值集合是{t|-2＜t≤0}．
故答案为：{t|-2＜t≤0}．

点评 本题考查恒成立问题，考查学生转化问题能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．