题目内容
【题目】二次函数的图象顶点为
,且图象在
轴上截得的线段长为8.
(1)求函数的解析式;
(2)令.
(ⅰ)求函数在
上的最小值;
(ⅱ)若时,不等式
恒成立,试求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)(i)分类讨论,详见解析;(ii)
.
【解析】
(1)先设二次函数为顶点式,然后根据其顶点为
,可知函数
的解析式为
,由图象在
轴上截得的线段长为8,利用韦达定理即可解.
(2)(i)先求出函数的解析式,再根据
,分类讨论函数
的对称轴
,当
时,函数
最小值的情况.
(ii)不等式恒成立转化为函数
在区间
上最大值小于等于17,再利用分类讨论思想讨论a的范围即可解.
解:(1)由题意设,与
轴的交点坐标为
,
∴,∵
,
由韦达定理可得.
∴,
∴,∴
(2),
对称轴为,
(ⅰ)当时,函数
在区间
为单调减函数,
∴;
当时,函数
在区间
上为单调增函数,在区间
上为单调减函数,
.
当时,函数
在区间
上为单调增函数,
在区间上为单调减函数,∴
.
当时,
.
∴函数在
上的最小值为
.
(ⅱ)①当时,
恒成立,只需
,即
,显然成立,∴
.
②当时,
恒成立,只需
,即
,
即,∴
.
③当时,
恒成立,只需
,即
,
即,这与
矛盾,故舍去.
综上所述,的取值范围是
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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