Question

【题目】已知

（1）求函数在的极值.

（2）证明：在有且仅有一个零点.

Answer 1

【答案】（1），无极小值；（2）见解析

【解析】

（1）对函数求导，并求出该函数的极值点，分析函数在极值点左右两边的单调性，确定极值的属性，然后将极值点代入函数的解析式可得出答案；

（2）首先考查，利用导数研究函数在该区间上的单调性，并确定和的正负，结合零点存在定理来得出函数的零点个数；

其次考查，利用放缩法得出可知函数在该区间上不存在零点。

结合上述两个步骤证明结论。

（1），

令，得，又，故.

令，得；令，得。

所以，函数在上单调递增，在上单调递减，

故；无极小值.

（2）当时，，，于是，

此时，函数单调递减，

，

，

由函数零点存在性定理知，函数在上有且只有一个零点。

当上，。

综上所述，函数有且只有个零点。