题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若曲线在点
处的切线
与曲线
切于点
,求
的值;
(Ⅲ)若恒成立,求
的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)先明确函数定义域,再求函数导数,根据导函数符号确定单调区间,(2)由导数几何意义得切线斜率为
,则得
,
.即得
(3)不等式恒成立问题,一般转化为对应函数
最值问题:先利用导数研究函数最值:
当
时,
在
上单调递增. 仅当
时满足条件,此时
;当
时,
先减后增,
,再变量分离转化为
,最后利用导数研究函数
最值,可得
的最大值.
试题解析:解:(Ⅰ) ,则
.
令得
,所以
在
上单调递增.
令得
,所以
在
上单调递减.
(Ⅱ)因为,所以
,所以
的方程为
.
依题意, ,
.
于是与抛物线
切于点
,
由得
.
所以
(Ⅲ)设,则
恒成立.
易得
(1)当时,
因为,所以此时
在
上单调递增.
①若,则当
时满足条件,此时
;
②若,取
且
此时,所以
不恒成立.
不满足条件;
(2)当时,
令,得
由
,得
;
由,得
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
要使得“恒成立”,必须有
“当时,
”成立.
所以.则
令则
令,得
由
,得
;
由,得
所以
在
上单调递增,在
上单调递减,
所以,当时,
从而,当时,
的最大值为
.
综上, 的最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着节能减排意识深入人心,共享单车在各大城市大范围推广,越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车.为了研究广大市民在共享单车上的使用情况,某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查,得到如下数据:
每周使用次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 8 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 6 | 20 |
合计 | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
(1)如果用户每周使用共享单车超过3次,那么认为其“喜欢骑行共享单车”.请完成下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下,认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关;
不喜欢骑行共享单车 | 喜欢骑行共享单车 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
(2)每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”,将频率视为概率,在我市所有的“骑行达人”中随机抽取4名,求抽取的这4名“骑车达人”中,既有男性又有女性的概率.
附表及公式:,其中
;
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法,AQI指数与空气质量对应如表所示:
AQI | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | 300以上 |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
如图是某城市2018年12月全月的AQI指数变化统计图:
根据统计图判断,下列结论正确的是( )
A. 整体上看,这个月的空气质量越来越差
B. 整体上看,前半月的空气质量好于后半个月的空气质量
C. 从AQI数据看,前半月的方差大于后半月的方差
D. 从AQI数据看,前半月的平均值小于后半月的平均值
【题目】一则“清华大学要求从 2017级学生开始,游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.其实,已有不少高校将游泳列为必修内容.
某中学拟在高一-下学期开设游泳选修课,为了了解高--学生喜欢游泳是否与性别有关,该学校对100名高一新生进行了问卷调查,得到如下列联表:
喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 30 | ||
合计 |
已知在这100人中随机抽取1人,抽到喜欢游泳的学生的概率为.
(1).请将上述列联表补充完整,并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢游泳与性别有关.
(2)已知在被调查的学生中有6名来自高一(1) 班,其中4名喜欢游泳,现从这6名学生中随机抽取2人,求恰有1人喜欢游泳的概率.
附:
0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 /td> | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |