Question

1．已知函数f（x）=2-3cos（x+$\frac{π}{4}$）
（1）当x取什么值时，f（x）取得最小值；
（2）求f（x）的对称轴，对称中心；
（3）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦函数的值域求得f（x）取得最小值．
（2）由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得函数f（x）的图象的对称轴和对称中心．
（3）由条件利用余弦函数的单调性，求得f（x）的单调区间．

解答 解：（1）对于函数f（x）=2-3cos（x+$\frac{π}{4}$），当x+$\frac{π}{4}$=2kπ，
即 x=2kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z时，f（x）取得最小值为2-3=-1．
（2）对于函数f（x）=2-3cos（x+$\frac{π}{4}$），令x+$\frac{π}{4}$=kπ，求得 x=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，可得函数的图象的对称轴为 x=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z．
令x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得 x=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，可得函数的图象的对称中心为（kπ-$\frac{π}{4}$，0），k∈Z．
（3）对于函数f（x）=2-3cos（x+$\frac{π}{4}$），
令2kπ-π≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，求得2kπ-$\frac{5π}{4}$≤x≤2kπ-$\frac{π}{4}$，可得函数的减区间为[2kπ-$\frac{5π}{4}$，2kπ-$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
令2kπ≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+π，求得2kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{3π}{4}$，可得函数的增区间为[2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查余弦函数的最值、余弦函数的图象的对称性，余弦函数的单调性，属于基础题．