Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，底面ABCD，F为BE的中点，．

（1）求证：平面ACF；

（2）求BE与平面ACE的所成角的正切值；

（3）在线段EO上是否存在点G，使CG平面BDE ?若存在，求出EG：EO的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）；（3）1：2.

【解析】

（1）连接OF,根据三角形中位线得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果，（2）先根据线面垂直得线面角，再解直角三角形得结果，（3）取EO中点G，利用面面垂直判定与性质定理证得结果.

(1)连接OF.由ABCD是正方形可知，点O为BD中点.

又F为BE的中点，所以OF∥DE.

又OF面ACF，DE面ACF，

所以DE∥平面ACF.

(2)证明：由EC⊥底面ABCD，BD底面ABCD，

∴EC⊥BD，

由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，

又AC∩EC=C,AC、E平面ACE,

∴BD⊥平面ACE，即就是所求角，

因为

故所正切值为.

(3)在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE.理由如下：

取EO中点G，连接CG，

在四棱锥EABCD中,AB=2√CE,CO=2√2AB=CE，

∴CG⊥EO.

由(2)可知，BD⊥平面ACE，而BD平面BDE，

∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，

∵CG⊥EO，CG平面ACE，

∴CG⊥平面BDE

故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE.

由G为EO中点,得EG：EO=1：2.