题目内容
【题目】如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池
的池底水平铺设污水净化管道（
，
是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是
的中点，
分别落在线段
上．已知
米，
米，记
．
（1）试将污水净化管道的长度
表示为
的函数，并写出定义域；
（2）若
，求此时管道的长度；
（3）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
【答案】(1)
，
．(2) 
米 (3)
或
时，污水净化效果最好，此时管道的长度为
米
【解析】
根据直角三角形表示
，
，
，即得结果，
根据同角三角函数关系求得
，即得结果，
利用同角三角函数关系，将函数转化为一元函数，根据单调性得结果.
解：
，
，
．
由于
，
，
所以
，所以．所以，．
当
时，
，
米
．
，设
，则
，
所以
．由于，所以
．
由于在
上单调递减，
所以当
，即或时，L取得最大值米
答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米
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