题目内容

动点到定点与到定直线,的距离之比为
(1)求的轨迹方程;
(2)过点的直线(与x轴不重合)与(1)中轨迹交于两点.探究是否存在一定点E(t,0),使得x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
(1) ;(2)2

试题分析:(1)动点到定点与到定直线,的距离之比为 .根据两点的距离即点到直线的距离公式,即可求出结论.
(2)根据题意假设直线方程联立椭圆方程消去y,得到一个关于x的二次方程,写出韦达定理得到M,N的坐标的关系式.因为题意要求x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等,所以满足.结合韦达定理,即可得到结论.
试题解析:(1)由题意得, ,
化简得,,即,即点的轨迹方程
(2)若存在点E(t,0)满足题设条件.并设M(x1,y1)、N(x2,y2),
⊥x轴时,由椭圆的对称性可知,x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等
与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).
,得
所以
根据题意,x轴平分∠MEN,则直线ME、NE的倾斜角互补,即KME+KNE=0.
设E(t,0),则有(当x1=t或x2=t时不合题意)
又k≠0,所以,将y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)代入上式,得
又k≠0,所以,即
,将代入,解得t=2.
综上,存在定点E(2,0),使得x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等.
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