题目内容
【题目】已知函数
(1)当时,求函数的单调增区间;
(2)若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)或.
【解析】试题分析:(1)求出f(x)的导数,由导数大于0,可得增区间;
(2)求出f(x)导数,求得切线的斜率和切点,可得切线方程,由题意可得关于x的方程有且只有一个解,即有且只有一个解.令,求出导数,对m讨论,求出单调区间,运用单调性即可得到m的范围.
试题解析:
(1)由题意知, ,
所以.
令得,所以函数的单调增区间是
所以曲线在点处的切线的方程为,
因为与曲线有且只有一个公共点,
即关于的方程有且只有一个解,
即有且只有一个解.
令,
则.
①时,由得,由,得,
所以函数在上为增函数,在上为减函数,
又,故符合题意;
②当时,由,得或,由,得,
所以函数在上为增函数,在上为减函数,在上为减函数,
又,且当时, ,此时曲线与轴有两个交点,
故不合题意;
③当时, 在上为增函数,且,
故符合题意;
④当,由,得或,由,得,
所以函数在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数,
又,且当 时, ,此时曲线与轴有两个交点,
故不合题意;
综上,实数的取值范围或.