题目内容

【题目】已知函数

(1)当时,求函数的单调增区间;

(2)若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点,求实数的取值范围.

【答案】(1);(2).

【解析】试题分析:(1)求出f(x)的导数,由导数大于0,可得增区间;

(2)求出f(x)导数,求得切线的斜率和切点,可得切线方程,由题意可得关于x的方程有且只有一个解,即有且只有一个解.令,求出导数,对m讨论,求出单调区间,运用单调性即可得到m的范围.

试题解析:

(1)由题意知,

所以.

,所以函数的单调增区间是

所以曲线在点处的切线的方程为

因为与曲线有且只有一个公共点,

即关于的方程有且只有一个解,

有且只有一个解.

.

时,由,由,得

所以函数上为增函数,在上为减函数,

,故符合题意;

②当时,由,得,由,得

所以函数上为增函数,在上为减函数,在上为减函数,

,且当时, ,此时曲线轴有两个交点,

不合题意;

③当时, 上为增函数,且

符合题意;

④当,由,得,由,得

所以函数上为增函数,在上为减函数,在上为增函数,

,且当 时, ,此时曲线轴有两个交点,

不合题意;

综上,实数的取值范围.

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