Question

【题目】设函数f（x）=x3+ax2+bx+c满足f'（0）=4，f'（-2）=0。

（1）求a，b的值及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）若函数f（x）有三个不同的零点，求c的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）a=b=4，y=4x+c；（2）（0， ）.

【解析】试题分析：（1）求出f（x）的导数，由f'（0）=4，f'（-2）=0求得a，b的值，再求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；
（2）由f（x）=0，可得-c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由-c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围．

试题解析：

(1)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的导数为f′(x)=3x2+2ax+b，

根据题意得： ，解得.

可得y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=f′(0)=b=4，

切点为(0,c)，可得切线的方程为y=4x+c；

(2)由（1）f(x)=x3+4x2+4x+c，

由f(x)=0,可得c= x3+4x2+4x，

由g(x)= x3+4x2+4x的导数g′(x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2)

当或x<2时,g′(x)>0,g(x)递增；

当2<x<时,g′(x)<0,g(x)递减.

即有g(x)在x=2处取得极大值，且为0；

g(x)在x=处取得极小值,且为，

由函数f(x)有三个不同零点,可得<c<0，

解得0<c<，

则c的取值范围是(0, ).