Question

【题目】已知椭圆C： + =1（α＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3 =0的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足 + 为定值？若存在，请求出定值，并求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：右焦点F（c，0）到直线x﹣y+3 =0的距离为5，

可得 =5，解得c=2 ，

由题意可得a2+b2=10，又a2﹣b2=8，

解得a=3，b=1，

即有椭圆方程为 +y2=1

（2）解：假设在x轴上存在点Q（m，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，

且满足 + 为定值．

设过Q的直线的参数方程为 （t为参数），

代入椭圆方程x2+9y2=9，可得t2（cos2α+9sin2α）+2mcosαt+m2﹣9=0，

可得△=（2mcosα）2﹣4（cos2α+9sin2α）（m2﹣9）＞0，

t1t2= ，t1+t2=﹣ ，

则 + = + = =

= 为定值，

即有2（m2+9）=18（9﹣m2），解得m=± ，

代入判别式显然成立．

故在x轴上存在点Q（± ，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，

且满足 + 为定值10

【解析】（1）运用点到直线的距离公式，以及两点的距离公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足 + 为定值．设过Q的直线的参数方程为 （t为参数），代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，化简整理，再由同角的平方关系，解方程可得m，即可判断存在Q．