Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若，

求证：直线过定点；

（ii）试问点能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)2,(2) （i）见解析（ii）

【解析】试题分析：（Ⅰ）设，联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，求出点的坐标和所在直线方程，求点的坐标，利用基本不等式即可求得的最小值；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知所在直线方程，和椭圆方程联立，求得点的坐标，并代入若 ，得到 ，因此得证直线过定点；

（ii）若点关于轴对称，写出点的坐标，求出的外接圆的圆心坐标和半径，从而求出的外接圆方程．

试题解析：（Ⅰ）由题意:设直线,

由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得:=,即,,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得

，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.

（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且，所以,又由（Ⅰ）知:,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).

（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,

由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述,点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为