题目内容
【题目】已知点,
,椭圆C:
(
)的离心率为
,过点
且斜率为1的直线
被椭圆C截得的线段长为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线不经过
点,且
与C相交于A,B两点.若直线
与直线
的斜率的和为
,证明:
过定点.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)联立直线的方程和椭圆方程,由弦长公式,结合椭圆的离心率即可求得椭圆方程;
(2)设出直线的方程,联立椭圆方程,根据韦达定理,结合直线
与直线
的斜率的和为
,即可容易证明.
(1)由题意知,,则
,
于是椭圆C的方程可化为,
直线的方程为
,
联立得
.
设,
为两交点,
则,
, 由
得
(*)
再由弦长公式得,
解得代入(*)成立,从而
,
所以椭圆C的方程为.
(2)设直线与
的斜率分别为
,
,
如果与x轴垂直,设
:
,
由题设知且
,
可得A,B坐标分别为,
,
则,得
,
此时的方程为
,与椭圆只有一个公共点,与题意不符.
从而可设:
(
)
将代入
得.
由题设可知,
设,
则
,
而
,
由题设知得
,
即,
解得,代入
,得
,
此时,
所以过定点
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某工厂有两台不同机器和
生产同一种产品各10万件,现从各自生产的产品中分别随机抽取20件,进行品质鉴定,鉴定成绩的茎叶图如图所示:
该产品的质量评价标准规定:鉴定成绩达到的产品,质量等级为优秀;鉴定成绩达到
的产品,质量等级为良好;鉴定成绩达到
的产品,质量等级为合格.将这组数据的频率视为整批产品的概率.
(1)完成下列列联表,以产品等级是否达到良好以上(含良好)为判断依据,判断能不能在误差不超过0.05的情况下,认为
机器生产的产品比
机器生产的产品好;
|
| 合计 | |
良好以上(含良好) | |||
合格 | |||
合计 |
(2)根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,从两台不同机器和
生产的产品中各随机抽取2件,求4件产品中
机器生产的优等品的数量多于
机器生产的优等品的数量的概率;
(3)已知优秀等级产品的利润为12元/件,良好等级产品的利润为10元/件,合格等级产品的利润为5元/件,机器每生产10万件的成本为20万元,
机器每生产10万件的成本为30万元;该工厂决定:按样本数据测算,两种机器分别生产10万件产品,若收益之差达到5万元以上,则淘汰收益低的机器,若收益之差不超过5万元,则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗?
附:独立性检验计算公式:.
临界值表:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
【题目】出版商为了解某科普书一个季度的销售量(单位:千本)和利润
(单位:元/本)之间的关系,对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析,得到如下的10组数据.
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
2.4 | 3.1 | 4.6 | 5.3 | 6.4 | 7.1 | 7.8 | 8.8 | 9.5 | 10 | |
18.1 | 14.1 | 9.1 | 7.1 | 4.8 | 3.8 | 3.2 | 2.3 | 2.1 | 1.4 |
根据上述数据画出如图所示的散点图:
(1)根据图中所示的散点图判断和
哪个更适宜作为销售量
关于利润
的回归方程类型?(给出判断即可,不需要说明理由)
(2)根据(1)中的判断结果及参考数据,求出关于
的回归方程;
(3)根据回归方程设该科普书一个季度的利润总额为(单位:千元),当季销售量
为何值时,该书一个季度的利润总额预报值最大?(季利润总额=季销售量×每本书的利润)
参考公式及参考数据:
①对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的公式分别为
.
②参考数据:
6.50 | 6.60 | 1.75 | 82.50 | 2.70 |
表中.另:
.计算时,所有的小数都精确到0.01.