题目内容
【题目】已知函数,
,函数
的图象在点
处的切线平行于
轴.
(1)求的值;
(2)求函数的极小值;
(3)设斜率为的直线与函数
的图象交于两点
,
,
,证明:
.
【答案】(1) (2) 函数
的极小值为
.(3) 见解析
【解析】试题分析:(1)由导数几何意义得,解得
.(2)先求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,进而确定极小值点(3)先利用斜率公式化简所证不等式
,再利用换元
转化为
,最后根据导数分别证明
及
试题解析:解:(1)依题意得,则
.
由函数的图象在点
处的切线平行于
轴得:
,所以
.
(2)由(1)得,
因为函数的定义域为
,令
得
或
.
函数在
上单调递增,在
上单调递减;在
上单调递增,
故函数的极小值为
.
(3)证法一:依题意得,
要证,即证
,
因,即证
,
令,即证
,
令,则
,所以
在
上单调递减,
所以,即
,所以
①
令,则
,
所以在
上单调递增,
所以,即
②
综①②得,即
.
证法二:依题意得,
令,则
,
由得
,当
时,
,当
时,
,
所以在
单调递增,在
单调递减,又
,
所以,即
.
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