题目内容
【题目】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10
cm，容器Ⅱ的两底面对角线
，
的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将
放在容器Ⅰ中，的一端置于点A处，另一端置于侧棱
上，求没入水中部分的长度；
（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱
上，求没入水中部分的长度．
【答案】（1）16；（2）20．
【思路分析】（1）转化为直角三角形ACM中，利用相似性质求解AP1；（2）转化到三角形EGN中，先利用直角梯形性质求角
，再利用正弦定理求角
，最后根据直角三角形求高，即为
没入水中部分的长度．
【解析】（1）由正棱柱的定义，
平面
，所以平面
平面
，
．
记玻璃棒的另一端落在
上点
处．
因为
，所以
，从而
，
如图，
与水面的交点为
，过作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，
则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，从而AP1=
．
答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)
（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心．
由正棱台的定义，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG．
同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1．
记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处．
过G作GK⊥E1G1，K为垂足，则GK =OO1=32．
因为EG = 14，E1G1= 62，
所以KG1=
，从而
．
设
则
．
因为
，所以
．
在
中，由正弦定理可得
，解得
．
因为
，所以
．
于是
．
记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，
故P2Q2=12，从而EP2=
．
答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)
【题目】某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合 计 | |
南方学生 | 60 | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | 10 | 20 |
合 计 | 70 | 30 | 100 |
⑴根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差
异”；
⑵已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机
抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.
| 0.100 | 0.050 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
附： 
，
