Question

【题目】已知定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣4x
（1）求f（﹣2）的值；
（2）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（3）设函数f（x）在[t﹣1，t+1]（t＞1）上的最大值为g（t），求g（t）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，

故f（﹣2）=f（2）=﹣4

（2）解：设x＜0，则﹣x＞0，

∴f（﹣x）=x2+4x，

又f（x）是偶函数，

∴f（x）=f（﹣x）=x2+4x，

故x＜0时，f（x）=x2+4x

（3）解：∵当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，

∴1＜t≤2，即|2﹣（t﹣1）|≥|（t+1）﹣2|时，

g（t）=f（t﹣1）=t2﹣6t+5，

t＞2，即|2﹣（t﹣1）|＜|（t+1）﹣2|时，

g（t）=f（t+1）=t2﹣2t﹣3，

故g（t）= ，

故t=2时，g（t）min=﹣3

【解析】（1）根据函数的解析式求出f（2）的值即可；（2）设x＜0，则﹣x＞0，根据函数的奇偶性求出函数的解析式即可；（3）通过讨论t的范围，求出g（t）的最小值即可．
【考点精析】利用函数的最值及其几何意义和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．