题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求函数
的极小值;
(2)设函数,求函数
的单调区间;
(3)若在区间上存在一点
,使得
成立,求
的取值范围,(
)
【答案】(1)当时,函数
取得极小值1;(2)当
时,
的递减区间为
;递增区间为
,当
时,
只有递增区间为
;(3)
.
【解析】试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的极值和最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问,当时,先得到
解析式,在定义域范围内,解不等式
,
得到函数的单调区间,从而得到函数
的极值;第二问,先求出
表达式,对
求导,需讨论
的根
与0的大小,分情况讨论;第三问,将在
(
)上存在一点
,使得
成立转化为
,构造函数
,结合第二问的结论,讨论求
的最小值.
试题解析:(1)的定义域为
. 1分
当时,
,
. 2分
由,解得
.
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
所以当时,函数
取得极小值,极小值为
; 4分
(2),其定义域为
.
又. 5分
①当,即
时,在
上
,所以,函数
在
上单调递增. 6分
②当,即
时,在
上
,在
上
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增; 7分
综上所述:当时,
的递减区间为
;递增区间为
.
当时,
只有递增区间为
. 8分
(3)若在上存在一点
,使得
成立,即在
上存在一点
,使得
.
则函数在
上的最小值小于零. 9分
①当,即
时,由(2)可知
在
上单调递减.
故在
上的最小值为
,由
,可得
.
因为.所以
; 10分
②当,即
时,由(2)可知
在
上单调递增.
故在
上最小值为
,由
,
可得(满足
); 11分
③当,即
时,由(2)可知可得
在
上最小值为
.
因为,所以,
.
,即
不满足题意,舍去. 13分
综上所述得,或
.
实数
的取值范围为
. 14分
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合 计 | |
南方学生 | 60 | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | 10 | 20 |
合 计 | 70 | 30 | 100 |
⑴根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差
异”;
⑵已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机
抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.
0.100 | 0.050 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
附: ,