题目内容
已知数列和满足:,,,其中为实数,为正整数。
(Ⅰ)证明:对任意的实数,数列不是等比数列;
(Ⅱ)证明:当时,数列是等比数列;
(Ⅲ)设为数列的前项和,是否存在实数,使得对任意正整数,都有?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由。
(Ⅰ)证明:对任意的实数,数列不是等比数列;
(Ⅱ)证明:当时,数列是等比数列;
(Ⅲ)设为数列的前项和,是否存在实数,使得对任意正整数,都有?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由。
(Ⅰ)证明:假设存在一个实数,使是等比数列,则有,即
,矛盾。
所以不是等比数列。
(Ⅱ)证明:
。
又。由上式知,
故当时,数列是以为首项,为公比的等比数列。
(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)得,于是
,
当时,,从而。上式仍成立。
要使对任意正整数,都有。
即。
令,则
当为正奇数时,:当为正偶数时,,
的最大值为。
于是可得。
综上所述,存在实数,使得对任意正整数,都有;
的取值范围为。
,矛盾。
所以不是等比数列。
(Ⅱ)证明:
。
又。由上式知,
故当时,数列是以为首项,为公比的等比数列。
(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)得,于是
,
当时,,从而。上式仍成立。
要使对任意正整数,都有。
即。
令,则
当为正奇数时,:当为正偶数时,,
的最大值为。
于是可得。
综上所述,存在实数,使得对任意正整数,都有;
的取值范围为。
略
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