题目内容
(14分)设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数
列是公差为的等差数列。
(1)求数列的通项公式(用表示);
(2)设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立。求证:的最大值为。
列是公差为的等差数列。
(1)求数列的通项公式(用表示);
(2)设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立。求证:的最大值为。
解:(1)由题意知:,
,
化简,得:
,
当时,,适合情形。
故所求
(2)(方法一)
,恒成立。
又,,
故,即的最大值为。
(方法二)由及,得,。
于是,对满足题设的,,有
。
所以的最大值。
另一方面,任取实数。设为偶数,令,则符合条件,
且。
于是,只要,即当时,。
所以满足条件的,从而。因此的最大值为。
,
化简,得:
,
当时,,适合情形。
故所求
(2)(方法一)
,恒成立。
又,,
故,即的最大值为。
(方法二)由及,得,。
于是,对满足题设的,,有
。
所以的最大值。
另一方面,任取实数。设为偶数,令,则符合条件,
且。
于是,只要,即当时,。
所以满足条件的,从而。因此的最大值为。
略
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