Question

11．己知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），内接于椭圆的正方形面积为S₁，内接于椭圆且有最大面积的矩形的面积为S₂，则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

Answer 1

分析 设内接于椭圆的正方形ABCD的A的坐标为（m，n）（m，n＞0），代入椭圆方程，可得m，可得S₁，再由椭圆的参数方程，可得内接矩形的面积，由正弦函数的最值可得最大值S₂，进而得到所求比值．

解答 解：设内接于椭圆的正方形ABCD的A的坐标为（m，n）（m，n＞0），
即有m=n，且$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得m²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
则有S₁=4m²=$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
内接于椭圆的矩形EFGH的E的坐标为（s，t），（s，t＞0），
即有内接矩形的面积为4st，
由椭圆的参数方程可得s=acosθ，t=bsinθ，
可得4st=4absinθcosθ=2absin2θ，
当sin2θ=1时，可得S₂=2ab，
则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}{2ab}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
故答案为：$\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，考查椭圆的参数方程及三角函数的最值的运用，考查运算能力，属于中档题．