Question

1．在非等腰△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，A+C=2B，2sinc-3sinA=sinB．
（1）求$\frac{c}{a}$的值；
（2）若△ABC的面积为6$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）求出B=60°，由2sinc-3sinA=sinB，利用正弦定理可得2c-3a=b，结合余弦定理，即可求$\frac{c}{a}$的值；
（2）若△ABC的面积为6$\sqrt{3}$，则$\frac{1}{2}$acsin60°=6$\sqrt{3}$，结合（1）的结论，求出a，c，即可求b的值．

解答 解：（1）∵A+C=2B，∴B=60°，
∵2sinc-3sinA=sinB，
∴2c-3a=b，
∵b²=a²+c²-2accos60°，
∴（2c-3a）²=a²+c²-ac，
∴（a-c）（8a-3c）=0，
∵a≠c，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{8}{3}$；
（2）若△ABC的面积为6$\sqrt{3}$，则$\frac{1}{2}$acsin60°=6$\sqrt{3}$，
∴ac=24，
∵$\frac{c}{a}$=$\frac{8}{3}$，
∴a=3，c=8，
∴b=2c-3a=7．

点评 本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．