Question

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则

|MN|

|AB|

的最大值为（　　）

A． 3 3

B．1

C． 2 3 3

D．2

Answer 1

设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab
配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（

a+b

2

）2，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-

1

4

（a+b）²=

3

4

（a+b）²
得到|AB|≥

3

2

（a+b）．
所以

|MN|

|AB|

≤

1 2 (a+b)

3 2 (a+b)

=

3

3

，即

|MN|

|AB|

的最大值为

3

3

．
故选：A