题目内容
【题目】已知 
在椭圆C： 
上，F为右焦点，PF⊥垂直于x轴，A，B，C，D为椭圆上的四个动点，且AC，BD交于原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）判断直线l： 
与椭圆的位置关系；
（3）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）满足 
= 
，判断kAB+kBC的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形ABCD面积的最大值，否则说明理由．
【答案】
（1）
解：由题意可知：PF⊥垂直于x轴，则c= 
， 
= 
，
∴ 
= 
= ，
解得：a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程： 
（2）
解：将直线l： 
，转化成（ 
+y﹣ 
）m+（ ﹣y﹣ 
）n=0，
由m，n∈R，则 
，解得： 
，
∴动直线l恒过P点，
由P在椭圆上，
∴直线l与椭圆的位置关系是相切或相交
（3）
解：∵ 
= 
，则4y1y2=x1x2，
若直线AB的斜率不存在（或AB的斜率为0时），不满足4y1y2=x1x2；
直线AB的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立 
，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．
△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=16（4k2﹣m2+1）＞0，①
x1+x2=﹣ 
，x1x2= 
，
∵4y1y2=x1x2，又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，
∴（4k2﹣1）x1x2+4km（x1+x2）+4m2=0，
即（4k2﹣1）× +4km（﹣ ）+4m2=0．
整理得：k=± ．
∵A、B、C、D的位置可以轮换，∴AB、BC的斜率一个是 ，另一个就是﹣ ．
∴kAB+kBC= ﹣ =0，是定值．
不妨设kAB=﹣ ，则x1+x2=2m，x1x2=2（m2﹣1）．
设原点到直线AB的距离为d，则S△AOB= |AB|d= |x1﹣x2| 
= 
= 
= 
≤1．
当m2=1时满足①取等号．
∴S四边形ABCD=4S△AOB≤4，即四边形ABCD面积的最大值为4
【解析】（1）由PF⊥垂直于x轴，则c= ， = ，及a2=b2+c2 ， 即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）将直线方程化简，即可求得 ，则动直线l恒过P点，直线l与椭圆的位置关系是相切或相交；（3）由 = ，则4y1y2=x1x2 ， 当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及4y1y2=x1x2 ， 求得k，把三角形AOB的面积化为关于m的函数，利用基本不等式求其最值，进一步得到四边形ABCD面积的最大值．
