题目内容
【题目】如图,在四棱锥 中,
,且
.
(1)证明:平面 ⊥平面
;
(2)若 ,
,求二面角
的余弦值.
【答案】
(1)解:由已知 ,得AB⊥AP , CD⊥PD.
由于AB∥CD , 故AB⊥PD , 从而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB , 所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)解:在平面 内做
,垂足为
,
由(1)可知, 平面
,故
,可得
平面
.
以 为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
.
由(1)及已知可得 ,
,
,
.
所以 ,
,
,
.
设 是平面
的法向量,则
,即
,
可取 .
设 是平面
的法向量,则
,即
,
可取 .
则 ,
所以二面角 的余弦值为
【解析】本题主要考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角大小的问题。第一小题主要就是面面垂直判定定理的应用,要正面面面垂直,只要证明面内的一条线垂直于另一个平面即可,也就是要利用线面垂直的判定定理证明即可。第二问建立空间直角坐标系,利用空间向量中的夹角公式求解二面角的大小。
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某企业生产甲,乙两种产品均需用两种原料,已知生产1吨每种产品需用
原料及每天原料的可用限额如下表所示,如果生产1吨甲,乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业可获得最大利润为__________万元.
甲 | 乙 | 原料限额 | |
A(吨) | 3 | 2 | 12 |
B(吨) | 1 | 2 | 8 |
【题目】为了引导居民合理用水,某市决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价,具体划分标准如表:
阶梯级别 | 第一阶梯水量 | 第二阶梯水量 | 第三阶梯水量 |
月用水量范围(单位:立方米) | (0,10] | (10,15] | (15,+∞) |
从本市随机抽取了10户家庭,统计了同一个月的用水量,得到如图所示的茎叶图.
(1)现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯水量的户数的分布列和均值;
(2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况,从全市依次随机抽取10户,若抽到n户月用水量为第二阶梯水量的可能性最大,求出n的值.