题目内容
【题目】已知是数列
的前n项和,
,且
.
(1)求数列的通项公式;
(2)对于正整数,已知
成等差数列,求正整数
的值;
(3)设数列前n项和是
,且满足:对任意的正整数n,都有等式
成立.求满足等式
的所有正整数n.
【答案】(1)(2)
(3)1和3.
【解析】试题分析:(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系,再根据等比数列定义判断,最后根据等比数列通项公式求结果,(2)根据等差数列化简得,再根据正整数限制条件以及指数性质确定不定方程正整数解,(3)先根据定义求数列
通项公式,再根据等差数列求和公式求
,根据数列相邻项关系确定
递减,最后根据单调性求正整数解.
试题解析:(1)由
得
,两式作差得
,即
.
,
,所以
,
,则
,所以数列
是首项为
公比为
的等比数列,所以
;
(2)由题意,即
,
所以,其中
,
,
所以,
,
,所以
,
,
;
(3)由
得,
,
,
,
所以
,即
,
所以
,
又因为,得
,所以
,
从而
,
,
当时
;当
时
;当
时
;
下面证明:对任意正整数都有
,
,
当时,
,即
,
所以当时,
递减,所以对任意正整数
都有
;
综上可得,满足等式的正整数
的值为
和
.
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