题目内容

在平面直角坐标系xOy中,动点M到直线x=-1的距离等于它到圆F:(x-2)2+y2=1的点的最小距离.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)已知过点F的直线与点M的轨迹交于A,B两点,且|AF|=8,求|BF|的长.
(1)设动点M(x,y),则
∵动点M到直线x=-1的距离等于它到圆F:(x-2)2+y2=1的点的最小距离
∴|x+1|=
(x-2)2+(y-0)2-1
,…(3分)
化简得:6x-2+2|x+1|=y2
当x≥-1时,y2=8x;…(5分)
当x<-1时,y2=4x-4<-8,不合题意.
所以点M的轨迹方程为:y2=8x.…(7分)
(2)抛物线的准线方程为x=-2.
过点A作准线的垂线AM,垂足为M,AM交y轴于点E,过点A作x轴垂线,垂足为H.
过点B作准线的垂线BN,垂足为N,
由抛物线的定义知:AF=AM=8.
因为ME=OF=2,所以AE=6,FH=4.
在Rt△AHF中,AF=8,FH=4,所以∠AFH=60°.…(10分)
直线AB的方程为y=
3
(x-2)代入y2=8x,可得
3x2-20x+12=0
∴x=6,或x=
2
3

∴A(6,4
3
),B(
2
3
-
4
3
3
).
∴BF=BN=
2
3
+2=
8
3
.…(14分)
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