题目内容

如图,线段AB的两个端点A、B分别分别在x轴、y轴上滑动,|AB|=5,点M是AB上一点,且|AM|=2,点M随线段AB的运动而变化.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)设F1为点M的轨迹的左焦点,F2为右焦点,过F1的直线交M的轨迹于P,Q两点,求S△PQF2的最大值,并求此时直线PQ的方程.
(1)由题可知AM=
2
5
AB,且可设A(x0,0),M(x,y),B(0,y0),
则可得x0=
5
3
x,y0=
5
2
y

又|AB|=5,即x02+y02=25,∴
x2
9
+
y2
4
=1
,这就是点M的轨迹方程.
(2)由(1)知F1为(-
5
,0),F2为(
5
,0),
由题设PQ为x=my-
5

直线方程代入椭圆方程,可得(4m2+9)y2-8
5
my
-16=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则△>0恒成立,y1+y2=
8
5
m
4m2+9
y1y2=
-16
4m2+9

S△PQF2=
1
2
|F1F2|(|y1|+|y2|)
=
5
|y1-y2|
=24
5
m2+1
4m2+9

令t=
m2+1
(t≥1),则S△PQF1=24
5
1
4t+
5
t
≤6,
当且仅当t=
5
2
,即m=±
1
2
时取“=”
S△PQF2的最大值为6,
此时PQ的方程为2x+y-2
5
=0或2x-y-2
5
=0.
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