题目内容
已知抛物线:,直线交于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点.(1)证明:抛物线在点处的切线与平行;(2)是否存在实数使NANB,若存在,求的值;若不存在,说明理由.
(Ⅰ) 略 (Ⅱ)
法一:(Ⅰ)如图,设,,把代入得,由韦达定理得,,
,点的坐标为.
设抛物线在点处的切线的方程为,
将代入上式得,直线与抛物线相切,
,.即.
(Ⅱ)假设存在实数,使,则,又是的中点,
.由(Ⅰ)知
.轴,.
又
.,解得.即存在,使.
解法二:(Ⅰ)如图,设,把代入得
.由韦达定理得.
,点的坐标为.,,
抛物线在点处的切线的斜率为,.
(Ⅱ)假设存在实数,使.
由(Ⅰ)知,则
,,,解得.即存在,使.
,点的坐标为.
设抛物线在点处的切线的方程为,
将代入上式得,直线与抛物线相切,
,.即.
(Ⅱ)假设存在实数,使,则,又是的中点,
.由(Ⅰ)知
.轴,.
又
.,解得.即存在,使.
解法二:(Ⅰ)如图,设,把代入得
.由韦达定理得.
,点的坐标为.,,
抛物线在点处的切线的斜率为,.
(Ⅱ)假设存在实数,使.
由(Ⅰ)知,则
,,,解得.即存在,使.
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