Question

【题目】已知函数.

（1）求证：当时，；

（2）若对任意存在和使成立，求实数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）不等式等价于，设，利用导数可证恒成立，从而原不等式成立.

（2）由题设条件可得在上有两个不同零点，且，利用导数讨论的单调性后可得其最小值，结合前述的集合的包含关系可得的取值范围.

（1）设，则，

当时，由，所以在上是减函数，

所以，故.

因为，所以，所以当时，.

（2）由（1）当时，；

任意，存在和使成立，

所以在上有两个不同零点，且，

（1）当时，在上为减函数，不合题意；

（2）当时，，

由题意知在上不单调，

所以，即，

当时，，时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，解得，

因为，所以成立，

下面证明存在，使得，

取，先证明，即证，

令，则在时恒成立，

所以成立，

因为，

所以时命题成立.

因为，所以.

故实数的最小值为.