题目内容
【题目】已知椭圆:, 过点的直线:与椭圆交于M、N两点(M点在N点的上方),与轴交于点E.
(1)当且时,求点M、N的坐标;
(2)当时,设,,求证:为定值,并求出该值;
(3)当时,点D和点F关于坐标原点对称,若△MNF的内切圆面积等于,求直线的方程.
【答案】(1)M(0,1),N (,);(2)为定值3(3)
【解析】
(1)代值联立方程组.解得即可求出,
(2)联立方程,利用韦达定理,以及向量的知识可得从而,化简整理即可证明,
(3)假设存在直线l:y=k(x+1)满足题意,则△MNF的内切圆的半径为,根据韦达定理,弦长公式,三角形的面积公式,即可求出k的值
解:(1) 当m=k=1时,联立,解之得:或,
即M(0,1),N (,);
(2) 当m=2时联立,消去y得:,
设M(x1,y1),N (x2,y2),则,
由,,且点的横坐标为0,
得、. 从而
=
=,
为定值3;
(3) 当m=3时,椭圆:,假设存在直线满足题意,则△的内切圆的半径为,又、为椭圆的焦点,故△MNF的周长为8,
从而,
消去,得,设、,
则.
故,即.
由(2),得,
化简,得,解得,
故存在直线满足题意.
练习册系列答案
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(1)根据以上数据填写如下列联表:
综艺类 | 体育类 | 总计 | |
女 | |||
男 | |||
总计 |
(2)试判断是否有的把握认为“中学生更爱看综艺类节目还是体育类节目与性别有关”.
参考公式:,其中.
临界值表:
0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |