题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线
（
为参数），
.以原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（I）写出曲线
与圆
的极坐标方程；
（II）在极坐标系中，已知射线
分别与曲线及圆相交于
，当
时，求
的最大值.
【答案】（I）
,
；（II）
.
【解析】
（I）将曲线
的参数消去转化为普通方程，然后转化为极坐标方程.利用普通方程与极坐标方程的互化公式将圆
的普通方程转化为直角坐标方程.（II）由于两个三角形的高相同，故将面积的比转化为
，将
代入曲线和圆的极坐标方程，求得
，
，由此求得的表达式，利用辅助角公式进行化简，并根据三角函数的值域，求得
的最大值.
(Ⅰ)曲线的普通方程为
，由普通方程与极坐标方程的互化公式的的极坐标方程为：
，即. 曲线的极坐标方程为： .
(Ⅱ)因为
与
以点为顶点时，它们的高相同，即
,
由(Ⅰ)知，
，所以
,
由
得
，所以当
即
时，
有最大值为,
因此 的最大值为.
【题目】某地因受天气，春季禁渔等因素影响，政府规定每年的7月1日以后的100天为当年的捕鱼期.某渔业捕捞队对吨位为
的20艘捕鱼船一天的捕鱼量进行了统计，如下表所示：
捕鱼量(单位：吨) |
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频数 | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
根据气象局统计近20年此地每年100天的捕鱼期内的晴好天气情况如下表（捕鱼期内的每个晴好天气渔船方可捕鱼，非晴好天气不捕鱼）：
晴好天气(单位：天) |
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频数 | 2 | 7 | 6 | 3 | 2 |
（同组数据以这组数据的中间值作代表）
（Ⅰ）估计渔业捕捞队吨位为的渔船单次出海的捕鱼量的平均数
；
（Ⅱ）已知当地鱼价为2万元/吨，此种捕鱼船在捕鱼期内捕鱼时，每天成本为10万元/艘，若不捕鱼，每天成本为2万元/艘，若以（Ⅰ）中确定的作为上述吨位的捕鱼船在晴好天气捕鱼时一天的捕鱼量.
①请依据往年天气统计数据，试估计一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率；
②设今后3年中，此种捕鱼船每年捕鱼情况一样，记一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的年数为
，求的分布列和期望.
