题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)若函数仅在
处取得极值,求实数
的取值范围;
(2)若函数有三个极值点
,
,
,求证:
.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
(1),因为
仅在
处取得极值,则
.再对a 分类讨论,利用数形结合分析得到a的取值范围;(2)由题得
,由题意则
有三个根,则
有两个零点
,
有一个零点,
,再利用分析法证明
.
解:(1)由,得
,
由仅在
处取得极值,则
,即
.
令,则
,当
单调递减,
单调递增,
则,
∴当时,
,此时
仅一个零点
,
则仅一个
为极值点,
当时,
与
在同一处取得零点,此时
,
,
,
,
∴仅一个零点
,则
仅一个
为极值点,所以a=e.
当a>e时,显然与已知不相符合.
∴.
(2)由,则
.
由题意则有三个根,则
有两个零点
,
有一个零点,
,
令,则
,
∴当时
取极值,
时
单调递增,
∴,则
时
有两零点
,
,且
,
若证:,即证:
,
由,
,则
,
即证:
,
由在
上单调递增,即证:
,
又,则证
,
令,
,
∴
.
∴恒成立,则
为增函数,
∴当时,
,
∴得证.
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练习册系列答案
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第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
甲 | 80 | 85 | 71 | 92 | 87 |
乙 | 90 | 76 | 75 | 92 | 82 |
(1)若从甲、乙两人中选出1人参加数学竞赛,你认为选谁合适?请说明理由.
(2)若数学竞赛分初赛和复赛,在初赛中答题方案如下:
每人从5道备选题中随机抽取3道作答,若至少答对其中2道,则可参加复赛,否则被淘汰.假设被选中参赛的学生只会5道备选题中的3道,求该学生能进人复赛的概率.