题目内容
【题目】如图所示,椭圆离心率为
,
、
是椭圆C的短轴端点,且
到焦点的距离为
,点M在椭圆C上运动,且点M不与
、
重合,点N满足
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求四边形面积的最大值.
【答案】
;
.
【解析】
根据离心率和
的长度求得
,从而得到椭圆方程;
四边形
的面积可以表示为:
,通过假设直线分别求得
和
,从而将问题转化为函数最值求解问题,从而得到结果.根据不同的假设直线的方式,会构成不同的函数,得到不同的解法.
又且
,解得:
,
因此椭圆的方程为
法一:设
,
,
直线
……①;直线
……②
由①②解得:
又
四边形的面积
当
时,
的最大值为
法二:设直线,则直线
……①
直线与椭圆
的交点
的坐标为
则直线的斜率为
直线
……②
由①②解得:
四边形的面积:
当且仅当时,
取得最大值
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