Question

【题目】已知，，当，分别在轴，轴上滑动时，点的轨迹记为.

（1）求曲线的方程；

（2）设斜率为的直线与交于，两点，若，求.

Answer 1

【答案】（1）（2）k＝±．

【解析】

（1）设M(0，m)，N(n，0)，P(x，y)，列x,y关于m,n的表达式，利用m,n的关系式，即可求解E的方程；（2）设MN：y＝kx＋m，与椭圆联立求得MN中点横坐标，利用MN和PQ的中点重合，列方程求解即可

（1）设M(0，m)，N(n，0)，P(x，y)，

由|MN|＝1得m2＋n2＝1．

由＝3得(x，y－m)＝3(n，－m)，

从而x＝3n，y－m＝－3m，

所以n＝，m＝－，

所以曲线E的方程为．

（2）设MN：y＝kx＋m，所以n＝－．①

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

将MN代入到E的方程并整理，可得(4＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－36＝0，

所以x1＋x2＝．

因为|PN|＝|MQ|，所以MN和PQ的中点重合，

所以＝，②

联立①②可得k2＝，故k＝±．